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时时彩定胆技巧|改进的高斯_赛德尔迭代法的收敛性分析_黄涌辉

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辉引言

本文考虑实线性方程组Ax=b(1)

其中A=(a ij )n×n∈R

n×n

为n 阶方阵,x∈Rn 和b∈R n 是n 维向量。对系数矩阵A 作A=M-N的分裂,M 为非奇异矩阵,则对应方程组(1)的基本迭代形式为:

x (k+1)=M-1Nx (k )+M-1b,k=0,1,2,…n(2)其中称M -1为方程(1)的迭代矩阵,迭代形式(2)是否收敛取决于迭代矩阵M -1N。当k→∞,M -1N→0,即k→∞时,谱半径ρ(M -1N )<1,并且其收敛速度随谱半径ρ(M -1N )的减小而加快。

一般地,对线性方程组(1)的系数矩阵A 做如下的分裂

A=D-L-U(3)其中D 为非奇异对角矩阵,L 为严格下三角矩阵,U 为严格上三角矩阵。

为讨论方便,当A 可逆时,总可以通过初等变换把A 的对角元都化简为1,因此

A=I-L-U对于形如(3)的系数矩阵,Gauss-Seidel 迭代法

的迭代矩阵为:G=(I-L )-1

U。

虽然迭代法是求解线性方程组的主要方法,但是当系数矩阵的条件数较大时,系数矩阵对于求解线性方程组是病态的,此时迭代法会出现不收敛和收敛速度慢的情况。对于迭代法收敛速度慢的问题,采用适当的预处理技术,可以使系数矩阵的特征值分布更加集中,降低矩阵的条件数,改良矩阵的病态特性。

现对线性方程组(1),两端左乘可逆矩阵P∈R n×n,使方程组等价地转换为一个预条件的方程组

PAx=Pb(4)通常称可逆矩阵P 为预处理矩阵(或预处理因

子),则与(2)对应的基本迭代形式为:

x (k+1)=(MP )-1NPx (k )+(MP )-1

Pb,k=0,1,2,…n其中PA=PM-PN是PA 的分裂,且PM 是可逆的。

本文主要考虑,对于线性方程组(1),如何选取预处理矩阵P,使得用Gauss-Seidel 迭代法解经过预处理后的方程组(4)有更快的收敛速度。本文在文[1]的基础上,考虑用一类新的预处理方法解线性方程组(1),取

则用P α左乘线性方程组(1)的两边,A α=PαA=(I+Sα)A=(I+Sα)(I-L-U )=I-L-U+Sα-S αL-S αU=I-L-U+Sα-(D S +LS +US )

=(I-D S )-(L+LS -S α)-(U+US )

=Dα-L α-U α

其中S αL=0,D α=diag(1,1-α2a 12a 21,…,1-αn a 1,n a n,1

)=I-DS >0改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析

黄湧辉

(华南师范大学数学科学学院,广东广州510631)

【摘要】本文讨论了改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性。在严格对角占优的L-矩阵条件下,该预条件加快了高斯-赛

德尔迭代法的收敛速度,而且在该预条件下高斯-赛德尔迭代法的谱半径是单调下降的。最后用数值例子说明本文得出的结

论。

【关键词】严格对角占优L-矩阵;预条件迭代法;谱半径;弱正则分裂;收敛速度【中图分类号】O241.6【文献标识码】A 【文章编号】1673-1891(2011)01-0015-03

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